Q1：直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半逆定理是真命題嗎？
是的，逆命題是斜邊上的中線等於斜邊一半的三角形是直角三角形。
設三角形ABC,AB邊上的中線是AD，AD=（1/2)AB,求證：C=90
證明：因為AD=BD=CD=（1/2)AB,所以A=角ACD，角B=角BAD，又A+B+C=180度，所以2(角A+B）=180度，所以A+B=90度,故C=90度。
Q2：怎麼證明定理直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半
直角三角形斜邊中線等於斜邊的一半。
設在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC的中線，求證：AD=1/2BC。
【證法1】
延長AD到E，使DE=AD，連接CE。
∵AD是斜邊BC的中線，
∴BD=CD，
又∵∠ADB=∠EDC（對頂角相等），
AD=DE，
∴△ADB≌△EDC（SAS），
∴AB=CE，∠B=∠DCE，
∴AB//CE（內錯角相等，兩直線平行）
∴∠BAC+∠ACE=180°（兩直線平行，同旁內角互補）
∵∠BAC=90°，
∴∠ACE=90°，
∵AB=CE，∠BAC=ECA=90°，AC=CA，
∴△ABC≌△CEA（SAS）
∴BC=AE，
∵AD=DE=1/2AE，
∴AD=1/2BC。
【證法2】
取AC的中點E，連接DE。
∵AD是斜邊BC的中線，
∴BD=CD=1/2BC，
∵E是AC的中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE//AB（三角形的中位線平行於底邊）
∴∠DEC=∠BAC=90°（兩直線平行，同位角相等）
∴DE垂直平分AC，
∴AD=CD=1/2BC（垂直平分線上的點到線段兩端距離相等）。
【證法3】
延長AD到E，使DE=AD，連接BE、CE。
∵AD是斜邊BC的中線，
∴BD=CD，
又∵AD=DE，
∴四邊形ABEC是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），
∵∠BAC=90°，
∴四邊形ABEC是矩形（有一個角是90°的平行四邊形是矩形），
∴AE=BC（矩形對角線相等），
∵AD=DE=1/2AE，
∴AD=1/2BC。
Q3：直角三角形斜邊中線等於斜邊一半的逆定理有沒有
【直角三角形斜邊中線等於斜邊的一半逆命題】
【如果三角形的一邊中線等於該邊長的一半，那麼三角形為直角三角形。】
設在△ABC中，AD為BC邊的中線，且AD=1/2BC，求證：△ABC為直角三角形。
【證法1】
∵AD是BC邊的中線，
∴BD=CD=1/2BC，
∵AD=1/2BC，
∴BD=AD=CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∴∠1+∠2=∠B+∠C，
即∠BAC=∠B+∠C，
∵2∠BAC=∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形內角和180°），
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形。
【證法2】
取AC的中點E，連接DE。
∵AD是BC邊的中線，
∴BD=CD=1/2BC，
∵AD=1/2BC，
∴AD=CD，
∵點E是AC的中點，
∴DE⊥AC（三線合一），
∴∠DEC=90°，
∵點D是BC的中點，點E是AC的中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE//AB，
∴∠BAC=∠DEC=90°，
∴△ABC是直角三角形。
【證法3】
延長AD到E，是DE=AD，連接BE、CE。
∵AD是BC邊的中線，
∴BD=CD，
又∵AD=DE，
∴四邊形ABEC是平行四邊形（對角線相等的四邊形是平行四邊形），
∵AD=1/2BC，AD=DE=1/2AE，
∴BC=AE，
∴四邊形ABEC是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形），
∴∠BAC=90°（矩形的內角均為直角），
∴△ABC是直角三角形。
Www..BAzhiShi.COMQ4：為什麼直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半
如圖，http://hiphotos.baidu.com/%BA%D3%CE%F7%CF%C8%C9%FA/pic/item/dd41171b84e0d1eeae5133dd.jpg
ΔABC是直角三角形，作AB的垂直平分線n交BC於D
∴AD=BD（線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等）
以DB為半徑，D為圓心畫弧，與BC在D的另一側交於C
∴DC’=AD=BD
∴∠BAD=∠BDA
∠C’AD=∠AC’D （等邊對等角）
又∵∠BAD+∠BDA+∠C’AD+∠AC’D =180°（三角形內角和定理）
∴∠BAD+∠C’AD=90°
即：∠BAC’=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠BAC=∠BAC’
∴C與C’重合
（也可用垂直公理證明 ：假使C與C’不重合
由於CA⊥AB，C’A⊥AB
故過A有CA、C’A兩條直線與AB垂直
這就與垂直公理矛盾
∴假設不成立
∴C與C’重合）
∴DC=AD=BD
∴AD是BC上的中線且AD=BC/2、這就是直角三角形斜邊上的中線定理
證法2：如圖http://hiphotos.baidu.com/%BA%D3%CE%F7%CF%C8%C9%FA/pic/item/dd41171b9a68c3eeae513325.jpg
ΔABC是直角三角形，AD是BC上的中線，作AB的中點E，連接DE
∴BD=CB/2，DE是ΔABC的中位線
∴DE‖AC（三角形的中位線平行於第三邊）
∴∠DEB=∠CAB=90°（兩直線平行，同位角相等）
∴DE⊥AB
∴n是AB的垂直平分線
∴AD=BD（線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等）
∴AD=CB/2、我是老師 謝謝采納wwW.baZhis∴Hi.com
